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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
10. Encuentre el polinomio de Taylor de orden 3 en $x=0$ de $$f(x)=\int_{0}^{x}(1+t)^{3} \ln(1+t) dt$$
Respuesta
Este ejercicio está muy bueno y mezcla polinomio de Taylor (de la práctica pasada) con TFC que acábamos de ver. Como siempre que arrancamos un ejercicio de Taylor, mi consejo, escribite la estructura del polinomio que estamos buscando así es mucho más claro cómo ir siguiendo.
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En este caso, queremos el polinomio de Taylor de orden 3 en $x=0$ de una función $f$, sería algo así:
$ P_3(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 $
Ahora empezamos a completar las piezas de nuestro rompecabezas:
👉 $f(0)$
Evaluamos en $x=0$ la expresión
$f(0)=\int_{0}^{0}(1+t)^{3} \ln(1+t) dt$
Y nos quedó la integral definida entre $0$ y $0$, no importa el choclazo que tengamos adentro, esa integral nos va a dar...
$f(0)=\int_{0}^{0}(1+t)^{3} \ln(1+t) dt = 0$
Impecable, $f(0) = 0$, ya tenemos una partecita de la respuesta.
👉 $f'(0)$
Ahora necesitamos derivar $f$. Si yo te hubiera puesto este ejercicio en la práctica pasada no ibas a tener ni idea cómo derivar una función así... pero ahora ya sabemos que la podemos derivar usando TFC 😉
$ f'(x) = (\int_{0}^{x}(1+t)^{3} \ln(1+t) dt)' = (1+x)^{3} \ln(1+x) $
Evaluamos en \( x=0 \):
$ f'(0) = 0$
👉 $f''(0)$
Y ahora esto ya sigue como un ejercicio común de Taylor. Para derivar $f$ simplemente aplicamos la regla del producto:
$ f''(x) = 3(1+x)^{2} \ln(1+x) + (1+x)^{2} $
Evaluamos en \( x=0 \):
$ f''(0) = 1 $
👉 $f'''(0)$
Vamos ahora con la derivada tercera, nuevamente atenti ahí con la regla del producto al principio, te va a quedar algo para simplificar y obtenemos:
$ f'''(x) = 6(1+x) \ln(1+x) + 3(1+x) + 2(1+x)$
Evaluamos en \( x=0 \):
$ f'''(0) = 5 $
Listoooo, ya podemos juntar nuestras piezas y el polinomio de Taylor nos quedó así
$ P_3(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{6}x^3 $